Opmerkingen

Kwadratische wederkerigheidswet en Gauss-gehele getallen


In 1825 publiceerde de Duitse wiskundige Carl F. Gauss een paper waarin complexe getallen van het formulier werden geïntroduceerd m + nikwaarin m en n zijn gehele getallen en ik = (-1)1/2, bij het onderzoeken van problemen met betrekking tot de wederkerigheid van de vierhoek. De wetten van wederkerigheid vertegenwoordigen een van de meest interessante resultaten van getaltheorie. Deze wetten werden geboren uit de kwadratische wederkerigheidstelling die werd aangetoond door Gauss en eerder werd aangenomen door Pierre de Fermat, Leonard Euler en Joseph Legendre. David Hilbert, en later André Weil, hebben deze wetten gegeneraliseerd en worden nog niet volledig begrepen in meer algemene situaties.

Waarschijnlijk was de kwadratische wederkerigheidswet (LRQ) een van de eerste diepgaande resultaten van de moderne getaltheorie. Oorspronkelijk werd het onafhankelijk geraden door Euler en Legendre in de eerste helft van de 18e eeuw. Ze hebben de demonstratie echter alleen voor bepaalde gevallen verkregen. In 1795 ontdekte Gauss het zelf, maar voelde niet dat hij het kon demonstreren, en in een brief meldde hij dat de demonstratie hem een ​​jaar lang kwelde en zijn uiterste best deed. Op negentien jaar oud, op 8 april 1796, gaf Gauss de eerste demonstratie van de kwadratische wederkerigheidswet en vond tijdens zijn leven andere demonstraties van dit resultaat.

Voordat we dit resultaat vermelden, moeten we ons het concept van congruentie herinneren dat wordt gezien in de laatste kolommen van de "Riemann Zeta-functie en het internet". Gauss introduceerde het concept van congruentie in het eerste hoofdstuk van zijn werk "Disquisitiones Arithmeticae" gepubliceerd in 1801. In die tijd introduceerde hij ook de notatie "≡" die van dit concept een krachtige techniek maakte in Algebra en Getaltheorie. Laten we naar de definities gaan.

We beschouwen twee gehele getallen de, b en n een positief geheel getal. als n verdeeld de - b wij zeggen dat

de é congruent de b modulo nen we schreven deb (mod n).

Bijvoorbeeld: 27 ≡ 2 (mod 5), omdat 5 27 - 2 = 25 verdeelt, 7 ≡ 7 (mod 4), omdat 4 7 - 7 = 0 verdeelt.

daarom, deb (mod n) betekent dat n verdeeld de - b; al snel is er een geheel getal k zodanig dat de - b = kn door de definitie van deelbaarheid. Bijvoorbeeld 37 ≡ 2 (mod 5) omdat 37 - 2 = 35 = 7 • 5. Gezien de gehele getallen de en n we weten van het divisiealgoritme dat er gehele getallen zijn q en r respectievelijk aangeduid als quotiënt en rest, zodat: de = qn + rwaar 0 ≤ r < n; weldra de - r = qndat wil zeggen n verdeeld de - r. Daarom, volgens de definitie van congruentie der (mod n). De rest r kan elke waarde tussen 0 en aannemen n - 1, dus we concluderen dat elk geheel getal de is een congruente module n tot exact een van de waarden tussen 0, 1, 2, ..., n - 1. De set {0, 1, 2,…, n -1} van n gehele getallen die overblijfselen zijn van moduleverdelingen n, wordt de module afvalklasse genoemd n. Als we het oplossen n = 7, dan heeft module klasse 7 precies 7 elementen, namelijk: 0, 1, 2, ..., 6. Daarom, wat het gehele getal ook is, het is congruent met een enkel element van module 7 klasse. 20 wordt bijvoorbeeld vertegenwoordigd door 6 in de afvalklasse, als 20 ≡ 6 (mod 7).

Vanwege de vele vergelijkbare eigenschappen waaraan congruenties en gelijkheid voldoen, koos Gauss het symbool "≡" voor het congruentieteken. Merk op dat dede (mod n) en als deb (mod n) dan bde (mod n). De optel-, vermenigvuldigings- en potentiëringshandelingen gedragen zich als volgt: if deb (mod n) en cd (mod n) en vervolgens: a + c b + d (mod n), de c b d (mod n), derbr (mod n).

Euler vroeg zich af onder welke omstandigheden de congruentie X2q (modern p) toegelaten oplossing voor neven en nichten p en q gegevens. Als deze congruentie een oplossing heeft, zeggen we dat q het is een kwadratisch residu module p. Anders zeggen we dat q het is een niet kwadratisch residu module p. Daarom is de kwadratisch afval module p zijn die elementen van de module residu klasse set p die vierkant zijn. Als we het oplossen n = 7 dan heeft de klasse van modulemodulus 7 precies 7 elementen, namelijk: 0, 1, 2, ..., 6 en precies 3 elementen die vierkant zijn, namelijk: 1 = 12, 4 = 22, 2 = 32dat wil zeggen 32 = 9 ≡ 2 (mod 7). Daarom is geheel getal 2 kwadratische restmodulus 7. Echter, 5 is niet-kwadratische restmodulus 7, omdat geen van de elementen van de verzameling {1, 2, 3, 4, 5, 6} aan de vergelijking voldoet. X2 ≡ 5 (modern 7).

Het belang van de Quadratic Residue Theory ligt in de volgende vraag: voor oneven priemgetallen p en q, er is een verband tussen het eigendom van p wees module kwadratisch residu q met het eigendom van q wees module kwadratisch residu p? Daarom bespreken we de aard van de wederkerigheid van kwadratische residuen.

In 1640 verkondigde Fermat de volgende stelling, nu bekend als de kleine stelling van Fermat:

"Als p is een vreemde neef die geen geheel getal verdeelt dedan dep - 1 ≡ 1 (mod p).”

als p is vreemd, hieruit volgt (p - 1) / 2 is een geheel getal, dus we moeten: de(p - 1)/2 ≡ 1 (mod p).

Nu bekend als het Euler-criterium, was dit het startpunt voor Euler om een ​​LRQ-demonstratie te onderzoeken. Laten we het Euler-criterium vermelden:

Laat p een oneven priemgetal en een geheel getal zijn zodat p de. Niet verdeelt.

Het getal a is een kwadratische restmodule p if, en alleen als, de(p - 1)/2 ≡ 1 (mod p).”

Bijvoorbeeld de = 3 is een niet-kwadratische restmodulus p = 7, omdat 33 = 27 ≡ -1 (mod 7).

Aan de andere kant de = 3 is een modulus kwadratisch residu p = 11, omdat 35 = 243 ≡ 1 (mod 11).

Dit criterium is echter niet praktisch. Als we bijvoorbeeld willen beslissen of geheel getal 17 een kwadratische residumodule 1987 is, moeten we beslissen of 17993 is congruent aan 1 module 1987 (merk op dat (1987-1) / 2 = 993). Daarom moet worden onderzocht of er een gemakkelijkere methode is.

Euler concentreerde zich op de situatie waarin beide gehele getallen p en q het zijn positieve, vreemde en verschillende priemgetallen. Legendre probeerde in 1785 een demonstratie van dit feit te geven, maar hij ging uit van een resultaat waarvan de demonstratie veel dieper is dan de LRQ-demonstratie, namelijk dat bepaalde rekenkundige progressies oneindige priemgetallen tussen hun elementen bevatten.

Legendre introduceerde echter het volgende symbool (de/p): (de/p) = 1 als q is een kwadratisch residu van pen (de/p) = -1, anders. Dit symbool (de/p) voldoet aan vele interessante eigenschappen. Bijvoorbeeld als p is een vreemde neef en de, b zijn gehele getallen niet deelbaar door neef pdan: het symbool is multiplicatief, dwz ((ab)/p) = (de/p) (b/p); als deb (mod p) en vervolgens (de/p) = (b/p).

Met dit symbool (de/p), bekend als het Legendre-symbool, wordt de LRQ handig als volgt uitgedrukt:

(q/p) (p/q) = (-1)(p - 1) / 2. (q - 1) / 2.

LRQ kan op andere manieren worden geformuleerd. De bovenstaande gelijkheid vermenigvuldigen met (p/q) we krijgen gelijkheid

(q/p) = (-1)(p - 1) / 2.(q - 1) / 2(p/q),

omdat (p/q) = ± 1. Laten we beslissen of geheel getal 30 een kwadratisch residu modulo 53 is met behulp van de LRQ. We merken eerst op dat:

(15/53) = (3/53)(5/53).

(3/53) = (-1) (3 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/3) = (53/3) = (2/3),

voor de rest van de deling van 53 door 3 is 2, dat is 53 ≡ 2 (modern 3). Aangezien 2 een niet-kwadratische modulus 3 is, volgt daaruit dat (2/3) = -1. Door de LRQ, (5/53) = (-1) (5 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/5) = (53/5) = (3/5), omdat de rest van de deling van 53 door 5 3 is, dat wil zeggen 53 ≡ 3 (modern 5). Aangezien 3 niet-kwadratische residumodulus 5 is, volgt daaruit dat (3/5) = -1. Daarom betekent (15/53) = (3/53) (5/53) = (-1). (-1) = 1 dat 15 een kwadratische residumodulus 53 is.

Gauss wordt door velen beschouwd als een van de drie grootste wiskundigen in de geschiedenis, naast Archimedes en Newton. Op zeventienjarige leeftijd besloot hij het onderzoek dat zijn voorgangers hadden ontwikkeld, te corrigeren en af ​​te ronden. Gauss had een grote interesse in rekenvragen en zijn zin is bekend:

“Wiskunde is de koningin van de wetenschap en rekenen is de koningin van de wiskunde.

Het werk van Gauss is een bron van inspiratie voor zijn creativiteit en een diepgaande en moderne kijk op wiskundige vragen. In zijn boek "Disquisitiones Arithmeticae" bestudeert hij vergelijkingen van het type Xn º de (mod p). Dit is een moeilijk probleem dat nog steeds moet worden onderzocht. Door echter de situatie te bestuderen waarin n = 2, ontdekte en demonstreerde de LRQ.

In de periode tussen 1808 en 1832 bleef Gauss soortgelijke wetten onderzoeken voor machten hoger dan vierkanten, dat wil zeggen relaties tussen p en q zodanig dat q waren een kubieke rest van p, (X3 º q (modern p)) of bikadratische resten (X4 º q(modern p)), enzovoort. Tijdens dit onderzoek deed Gauss enkele ontdekkingen en realiseerde zich dat het onderzoek eenvoudiger werd door aan complexe getallen te werken. m + nik waar m en n zijn gehele getallen en ik = (-1)1/2.

Gauss ontwikkelde een prime-ontbindingstheorie voor deze complexe getallen Zik momenteel bekend als Gaussiaanse gehele getallen of Gaussiaanse gehele getallen ter ere van hem.

Gauss toonde aan dat de verzameling Gaussiaanse gehele getallen, voorzien van de optel- en vermenigvuldigingsoperaties, aanleiding geeft tot een structuur die het integriteitsdomein wordt genoemd. Bovendien geven Gaussische gehele getallen een primaire ontleding toe, deze ontleding is uniek tenzij in de volgorde van factoren precies zoals bij het gehele aantal getallen.

Gauss gegeneraliseerd het idee van geheel getal bij het definiëren van de set Zik. Hij ontdekte dat veel van de oude theorie van Euclides over gehele getallenfactorisatie naar het Z-domein kon worden overgedragen.ik met belangrijke gevolgen voor de getaltheorie. Deelbaarheidsproblemen worden echter complex in dit domein. Merk op dat 5 een priemgetal is in Z, maar niet langer priemt in Zik. In feite

(1 + 2ik).(1 - 2ik) = 1 - 2ik + 2ik - 4ik2 = 1 - 4.(-1) = 5.

Een natuurlijke vraag rijst: wat zijn de priemgetallen van het Z-gezondheidsdomeinik?

Deze en andere vragen met betrekking tot Gaussiaans rekenkundig geheel getal zullen in onze volgende kolom worden besproken.

Terug naar kolommen

<